Kosinova věta: KALKULAČKA, vysvětlení a ukázkové příklady

V dnešním článku se zaměříme na látku z matematiky a goniometrie. Konkrétně si vysvětlíme kosinovu větu. Nejenže si vše podrobně ukážeme, ale k tomu přidáme i online kalkulačku, se kterou si můžete své výpočty zkontrolovat.

K čemu nám slouží kosinová věta?

Umožňuje nám zjistit délky stran nebo velikosti úhlů, když nemáme pravoúhlý trojúhelník, kde by samozřejmě stačila jen Pythagorova věta. Prakticky s ní můžeme zjistit:

Délku třetí strany – pokud známe dvě strany a úhel mezi nimi, můžeme dopočítat třetí stranu.
Velikosti úhlu – pokud známe všechny tři strany, můžeme dopočítat libovolný vnitřní úhel.

Kosinova věta se nepoužívá jen ve školních testech a při hodinách matematiky. Slouží nám i ve stavebnictví, programování nebo při navigaci.

Kosinova věta – vzorce

Trochu formálněji, pro trojúhelník ABC s délkami stran a, b, c (proti úhlům α, β, γ) platí:

a² = b² + c² – 2 × b × c × cos(α)

b² = c² + a² – 2 × c × a × cos(β)

c² = a² + b² – 2 × a × b × cos(γ)

Kalkulačka kosinové věty

Zadejte jen známé hodnoty – zbytek se dopočítá automaticky.

Režim

Délky stran

Úhly / kosiny

Stupně a minuty oddělte mezerou a nepoužívejte speciální znaky (např 77°43' jako 77 43).

📘 Příklady

Příklad 1

Zadání: Trojúhelník ABC má strany a = 4,3 cm, b = 3,1 cm a úhel γ = 57°31′. Spočítejte třetí stranu c a zbývající úhly.

Postup:

Vypočítáme stranu c pomocí kosinovy věty:
c² = a² + b² – 2·a·b·cos(γ)
c² = 4,3² + 3,1² – 2·4,3·3,1·cos(57,517°)
c² ≈ 18,49 + 9,61 – 26,66·0,540
c² ≈ 28,1 – 14,38 ≈ 13,72
c ≈ √13,72 ≈ 3,706
Dopočítáme úhel α: cos(α) = (b² + c² – a²)/(2·b·c)
cos(α) ≈ (3,1² + 3,706² – 4,3²)/(2·3,1·3,706)
cos(α) ≈ (9,61 + 13,74 – 18,49)/23,0 ≈ 4,86/23,0 ≈ 0,211
α ≈ 77°43′
Dopočítáme úhel β: β = 180° – α – γ ≈ 180° – 77°43′ – 57°31′ ≈ 44°46′

Výsledek:

a = 4,3 cm| b = 3,1 cm| c = 3,706 cm
α ≈ 77°43′ | β ≈ 44°46′ | γ = 57°31′

Příklad 2

Zadání: Trojúhelník má strany a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Spočítejte všechny úhly.

Postup:

Vypočítáme cos(α): cos(α) = (b² + c² – a²)/(2·b·c)
cos(α) = (36 + 49 – 25)/(2·6·7) = 60/84 ≈ 0,714
α ≈ 44°34′
Vypočítáme cos(β): cos(β) = (a² + c² – b²)/(2·a·c)
cos(β) = (25 + 49 – 36)/(2·5·7) = 38/70 ≈ 0,543
β ≈ 57°0′
Dopočítáme γ: γ = 180° – α – β ≈ 180° – 44°34′ – 57°0′ ≈ 78°26′

Výsledek:

a = 5 cm| b = 6 cm | c = 7 cm
α ≈ 44°34′ | β ≈ 57°0′ | γ ≈ 78°26′

Příklad 3

Zadání: Trojúhelník má strany b = 8 cm, c = 5 cm a úhel α = 60°. Spočítejte stranu a a zbývající úhly.

Postup:

Vypočítáme stranu a pomocí kosinovy věty:
a² = b² + c² – 2·b·c·cos(α)
a² = 8² + 5² – 2·8·5·cos(60°)
a² = 64 + 25 – 80·0,5
a² = 89 – 40 = 49
a = √49 = 7
Vypočítáme úhel β: cos(β) = (a² + c² – b²)/(2·a·c)
cos(β) = (7² + 5² – 8²)/(2·7·5) = (49 + 25 – 64)/70 = 10/70 ≈ 0,143
β ≈ 81°12′
Dopočítáme γ: γ = 180° – α – β ≈ 180° – 60° – 81°12′ ≈ 38°48′

Výsledek:

a = 7 cm | b = 8 cm| c = 5 cm
α = 60° | β ≈ 81°12′ | γ ≈ 38°48′

O autorovi

Mgr. Jitka Svobodová
[email protected]
Mgr. Jitka Svobodová je zkušená pedagožka s magisterským vzděláním z Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy, kde se zaměřila na anglický jazyk a matematiku. Své profesní zkušenosti získala jako učitelka na prvním stupni základní školy na Praze 13, kde kromě výuky vytvářela i výukové materiály. Od roku 2016 organizuje dětské tábory v Pardubickém kraji a od roku 2018 vede doučování angličtiny pro žáky v okrese Praha-západ. Během mateřské dovolené začala psát pro web Prodeticokoliv.cz, kde sdílí své zkušenosti z oblasti vzdělávání a volnočasových aktivit pro děti.